分布と分布関数の性質② ～「統計学への確率論，その先へ」第1章を読む

はじめに

測度論的確率論を分かりやすく説明している，清水泰隆・著「統計学への確率論，その先へ」(第1版)を読み，改めて測度論的確率論について学ぶことにした。

本記事は，「第1章　確率モデルを作るまで」における，分布と分布関数の性質に関する読書メモである。

第1章　確率モデルを作るまで

1.3 不確実性の表現：確率分布と分布関数

本書P29にある定理1.3.2に，確率変数 $X$ と分布 $\mu$ ，分布関数 $F$ の性質について説明していた。これは，

(1) $F$ は単調非減少関数である。すなわち $x \leq y$ に対して， $F(x) \leq F(y)$
(2) $F(\infty) =\lim_{x \to \infty} F(x)=1$ かつ $F(-\infty) = \lim_{x \to -\infty}F(x) = 0$
(3) $F(x)$ は右連続関数，すなわち任意の $x \in R$ に対して， $\lim_{y \downarrow x}F(y) = F(x)$
(4)任意の $x \in R$ に対して， $\mu ({x}) = F(x) - F(x-)$ . ただし， $F(x-) = \lim_{y \uparrow x}F(y)$
(5) $F$ の不連続点は高々可算個である。

この内容の理解に少しつまずいたので，今回は(4)～(5)について丁寧に確認してみた。

確率分布と分布関数の性質

(4)μ({x}) = F(x) - F(x-)

$\mu ({x}) = F(x) - F(x-)$ という状況は，下図のような状況である。ここで，

$\begin{align} F(x-) = \lim_{y \uparrow x} F(y) \\ \\ \end{align}$

と定義される。

集合で考えると， $F(x) = \mathbb{P}(X \leq x)$ である。そこで， $\{X \leq x\}$ を $\{X = x\}$ と $\{X \lt x\}$ に分けて考える。

$\begin{align} \{X \leq x\} = \{X = x\} \cup \{X \lt x\} \\ \\ \end{align}$

であるため，確率測度の加法性より，

$\begin{align} &\mathbb{P}(X \leq x) = \mathbb{P}(X = x) + \mathbb{P}( X \lt x ) \\ \\ \Leftrightarrow & \mathbb{P}(X = x) = \mathbb{P}(X \leq x) - \mathbb{P}( X \lt x ) \\ \\ &= F(x) - \mathbb{P}( X \lt x ) \\ \\ \end{align}$

となる。

ここで， $F(x-) = \mathbb{P}( X \lt x )$ であることを確認する。

$y_n \uparrow x$ という数列として， $y_n = x - n^{-1}$ を考える。
すると，

$\begin{align} \{X \leq y_1\} \subseteq \{X \leq y_2\} \subseteq \{X \leq y_3\} \subseteq \cdots \\ \\ \end{align}$

であり，

$\begin{align} \bigcup_{n=1}^{\infty} \{X \leq y_n\} = \{X \lt x\} \\ \\ \end{align}$

となる。

よって確率の連続性を用いると，

$\begin{align} \mathbb{P}(X \lt x) &= \lim_{n \to \infty} \mathbb{P} \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} \{X \leq y_n\} \right) \\ \\ &= \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(X \leq y_n) = \lim_{n \to \infty} F(y_n) \\ \\ &= F(x-) \\ \\ \end{align}$

以上より，

$\begin{align} \mathbb{P}(X = x) = \mu(\{x\}) = F(x) - F(x-) \\ \\ \end{align}$

が得られる。

なお，この式から，

分布関数のジャンプ点は，右連続(大きい方から近づく場合は連続)だが，左連続ではない。
分布関数のジャンプ点の大きさは，その点に集中している確率である。

ということが分かる。

(5)Fの不連続点は高々可算個

あらためて「不連続点(ジャンプ点)」となるような $x$ を考えると，これは

$\begin{align} F(x) - F(x-) = \mu(\{x\}) \gt 0 \\ \\ \end{align}$

となるような $x$ である。

このとき，ジャンプ点で増加する値 $\mu(\{x\})$ は正の値なので，自然数 $n \in \mathbb{N}$ を使って大きさを評価してみる。
任意の自然数 $n$ に対して，

$\begin{align} D_n &= \left\{ x \in \mathbb{R} \mid F(x) - F(x-) \gt \frac{1}{n} \right\} \\ \\ &= \left\{ x \in \mathbb{R} \mid \mu(\{x\}) \gt \frac{1}{n} \right\} \\ \\ \end{align}$