「コピュラ理論の基礎」を読む　～6. 多変量コピュラ ④ヴァインコピュラ～

はじめに

コピュラ理論は，周辺分布と依存構造を分離し，柔軟なモデル構築を可能にする手法として知られている。江村剛志著「コピュラ理論の基礎」は，理論の基礎から実務への応用までを体系的に解説しており，製造業のデータ分析に活用可能な知見を提供するものと期待される。

本記事は，「6. 多変量コピュラ」における，ヴァインコピュラに関する読書メモである。

本記事を読むことで得られること

本記事を読むことで得られることは，主に以下の内容である。

多変量アルキメデスコピュラ，特に3変量クレイトンコピュラの特徴

6.4　ヴァインコピュラ

ヴァインコピュラ(vain copula)*1は，2変量コピュラを結合させて，多変量のモデルを構成する手法である。

ヴァインコピュラの考え方

確率変数 $\mathbfit{X} = (X_1, ..., X_n)^T$ の同時分布関数はスクラーの定理より，

$\begin{align} &P(X_1 \leq x_1, ..., X_n \leq x_n) = C(F_1(X), ..., F_n(X_n)), \\ \\ &F_i(X_i) = P(X_i \leq x_i), \quad i = 1, ... , n \\ \\ \end{align}$

となる。

確率変数が連続型だとすると，同時密度関数はコピュラ密度

$\begin{align} C^{[1, ..., 1]}(u_1, ..., u_n) = \frac{\partial ^n C(u_1, ..., u_n)}{\partial u_1 \cdots \partial u_n} \\ \\ \end{align}$

を用いて，

$\begin{align} f(x_1, ..., x_n) &= \frac{\partial ^n}{\partial u_1 \cdots \partial u_n} P(X_1 \leq x_1, ..., X_n \leq x_n) \\ \\ &= C^{[1, ..., 1]}(F_1(X), ..., F_n(X_n)) f_1(x_1) \cdots f_n(x_n) \\ \\ \end{align}$

となる。ヴァインコピュラは，コピュラ $C$ ではなく，コピュラ密度 $C^{[1, ..., 1]}$ に注目したモデル化のモデル化の手法である。

密度関数の分解法とペアコピュラの構成法

3変量の場合を考える。 $(X_1, X_2, X_3)$ の同時密度は，コピュラ密度 $C^{[1,1,1]}(u_1, u_2, u_3)$ を用いると，上式より，

$\begin{align} f(x_1, x_2, x_3) = C^{[1, 1, 1]}(F_1(X), F_2(X_2), F_3(X_3)) f_1(x_1) f_2(x_2) f_3(x_3) \tag{1} \\ \\ \end{align}$

と表せる。

確率変数 $(X_1, X_2, X_3)$ の間に，下図のような関係があるとする。今興味があるのは，以下のような関係があるとき，コピュラ密度 $C^{[1,1,1]}(u_1, u_2, u_3)$ を，他のコピュラの組合せで構成することである。

同時密度

上図のようなDAGの場合，同時密度は

$\begin{align} f(x_1, x_2, x_3) = f_1(x_1) f_{2,3 \lvert 1}(x_2, x_3 \lvert 1) \\ \\ \end{align}$

である。

条件付き分布のコピュラ・コピュラ密度(X_1 → X_2, X_3)

条件付き分布 $(X_2, X_3 \lvert X_1)$ のコピュラを $C_{23\lvert1}$ とすると，

$\begin{align} &P(X_2 \leq x_2, X_3 \leq x_3 \lvert X_1 = x_1) = C_{23\lvert1} (F_2(x_2 \lvert x_1), F_3(x_3 \lvert x_1)) \\ \\ &F_2(x_2 \lvert x_1) = P(X_2 \leq x_2 \lvert X_1 = x_1), \quad F_3(x_3 \lvert x_1) = P(X_3 \leq x_3 \lvert X_1 = x_1) \\ \\ \end{align}$

となる。ただし， $C_{23\lvert1}$ は $x_1$ に依存しないという簡素化の仮定をおいた。

またこの式を $x_2, x_3$ で偏微分してコピュラ密度を求める。 $X_1 = x_1$ は固定値とみなし，(1)式と同様に偏微分すると，

$\begin{align} f_{2, 3 \lvert 1}(x_2, x_3 \lvert x_1) = C_{23 \lvert 1}^{[1, 1]} (F_2(x_2 \lvert x_1), F_3(x_3 \lvert x_1)) f_{2 \lvert 1}(x_2 \lvert x_1) f_{3\lvert 1}(x_3 \lvert x_1) \\ \\ \end{align}$

となる*2。

条件付き分布のコピュラ・コピュラ密度(X_1 → X_2, X_1 → X_3)

次に， $(X_1, X_2)$ のコピュラを $C_{12}$ ， $(X_1, X_3)$ のコピュラを $C_{13}$ とすると，

$\begin{align} F_{2 \lvert 1}(x_2 \lvert x_1) &= P(X_2 \leq x_2 \lvert X_1 = x_1) \\ \\ &= \frac{P(X_2 \leq x_2 , X_1 = x_1)}{P(X_1 = x_1)} \\ \\ &= \frac{ \frac{\partial}{\partial x_1}P(X_2 \leq x_2 , X_1 \leq x_1)}{\frac{d}{d x_1}P(X_1 \leq x_1)} \\ \\ &= C_{12}^{[1, 0]} (F_1(x_1), F_2(x_2)) \\ \\ \end{align}$

同様に，

$\begin{align} F_{3 \lvert 1}(x_3 \lvert x_1) = C_{13}^{[1, 0]} (F_1(x_1), F_3(x_3)) \\ \\ \end{align}$

であるから，

$\begin{align} f_{2 \lvert 1}(x_2 \lvert x_1) = C_{12}^{[1, 1]} (F_1(x_1), F_2(x_2)) f_2(x_2) \\ \\ f_{3 \lvert 1}(x_3 \lvert x_1) = C_{13}^{[1, 1]} (F_1(x_1), F_3(x_3)) f_3(x_3) \\ \\ \end{align}$

ペアコピュラによる3変量コピュラの構成

以上をまとめると，

$\begin{align} f(x_1, x_2, x_3) &=C_{12}^{[1, 1]} (F_1(x_1), F_2(x_2)) \cdot C_{13}^{[1, 1]} (F_1(x_1), F_3(x_3)) \\ \\ & \times C_{23 \lvert 1}^{[1, 1]} \left( C_{12}^{[1, 0]} (F_1(x_1), F_2(x_2)), C_{13}^{[1, 0]} (F_1(x_1), F_3(x_3)) \right) \cdot f_1(x_1) f_2(x_2) f_3(x_3) \\ \\ \end{align}$

であることが分かる。よって，

$\begin{align} C^{[1, 1, 1]} (u_1, u_2, u_3) = C_{12}^{[1, 1]} (u_1, u_2) \cdot C_{13}^{[1, 1]} (u_1, u_3) \cdot C_{23 \lvert 1}^{[1, 1]} \left( C_{12}^{[1, 0]} (u_1, u_2), C_{13}^{[1, 0]} (u_1, u_3) \right) \\ \\ \end{align}$