統計検定1級過去問解説：2024年統計数理問2 #統計検定

はじめに

本記事では，2024年の統計検定1級統計数理の問2についてまとめてみた。

[1]

解説

確率変数の変数変換の問題である。今回の場合，極座標変換を用いる。

なお変数 $\theta$ がすでに使われているので，角度は別の変数で表す必要がある。

解答例

$\begin{align} X &= R \cos T \\ Y &= R \sin T \\ \end{align}$

と置く。ただし $R$ と $T$ は独立で， $0 \leq R \leq \theta, 0 \leq T \leq 2\pi$ である。

$(X, Y) \rightarrow (R, T)$ に変数変換するヤコビアンは，

$\begin{align} J = \begin{vmatrix} \partial x / \partial r & \partial x / \partial t \\ \partial y / \partial r & \partial y / \partial t \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos t & -r \sin t \\ \sin t & r \cos t \\ \end{vmatrix} =r \\ \end{align}$

となる。よって $R, T$ の同時確率密度関数 $f_{R,T}(r, t)$ は， $0 \leq R \leq \theta$ の範囲において

$\begin{align} f_{R,T}(r, t) = h(x, y) \times J = \frac{r}{\pi \theta^2} \end{align}$

となる。

上記から， $T (0 \leq T \leq 2\pi)$ は一様分布にしたがうことが分かるので， $T$ の確率密度関数 $f_T(t)$ は，

\begin{align}
f_T(t) =
\begin{cases}
1/2 \pi & (0 \leq T \leq 2 \pi) \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
\end{align}

となる。

よって，

$\begin{align} f_{R,T}(r, t) = \frac{r}{\pi \theta^2} = \frac{2r}{\theta^2} \times \frac{1}{2\pi} \\ \end{align}$

と表される。

以上より変数の範囲に注意すると，確率密度関数 $f(r)$ は，

\begin{align}
f(r) =
\begin{cases}
2r / \theta^2 & (0 \leq r \leq \theta) \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
\end{align}

となる。

累積分布関数は，確率密度関数を積分すると，

\begin{align}
f(r) =
\begin{cases}
0 & (r \lt 0) \\
r^2 / \theta ^2 & (0 \leq r \leq \theta) \\
1 & (\theta \lt r) \\
\end{cases}
\end{align}

となる。 $\blacksquare$

[2]

解説

確率変数の平均と分散を求める問題である。
[1]で得られた確率密度関数は，有名な確率分布には属さないが，定義にしたがって平均と分散を求めればよい。

解答例

[1]で求めた確率密度関数を用いて，

$\begin{align} E[ R ] = \int_{0}^{\theta} r \cdot \frac{2r}{\theta^2} dr = \frac{2}{\theta^2} \left[ \frac{1}{3} r^3 \right]_{0}^{\theta} = \frac{2}{3} \theta \end{align}$

となる。 $\blacksquare$

また，

$\begin{align} E[ R^2 ] = \int_{0}^{\theta} r^2 \cdot \frac{2r}{\theta^2} dr = \frac{2}{\theta^2} \left[ \frac{1}{4} r^4 \right]_{0}^{\theta} = \frac{1}{2} \theta^2 \end{align}$

より，

$\begin{align} V[ R ] = E[ R^2 ] - (E[ R ] )^2 = \frac{1}{18} \theta^2 \end{align}$

となる。 $\blacksquare$

[3]

解説

「得られたサンプルの最大値がしたがう確率分布を求める」という順序統計量の問題である。
得られた $n$ 個のサンプルのうち最大値がしたがう分布(第 $n$ 順序統計量がしたがう分布)を求めるには，累積分布関数 $P(R_{(n)} \leq r)$ を考えればよい。

解答例

第n順序統計量 $R_{(n)}$ は得られたサンプルのうち最大値なので，

$\begin{align} R_{(n)} \leq r & \Leftrightarrow R_{(1)}, R_{(2)}, \cdots , R_{(n)} \leq r \\ \\ & \Leftrightarrow R_1, R_2, \cdots , R_n \leq r \\ \end{align}$

となる。

よって， $R_{(n)}$ がしたがう累積分布関数は， $0 \leq r \leq \theta$ の範囲で，

$\begin{align} G(r) &= P(R_{(n)} \leq r) = P(R_1, R_2, \cdots , R_n \leq r) \\ &= \{ P(R \leq r) \}^n = \left( \frac{r^2}{\theta^2} \right)^n \\ \end{align}$

よって，定義関数 $I$ を用いて，

$\begin{align} G(r) = \frac{r^{2n}}{\theta^{2n}} I_{[ 0 \leq r \leq \theta ]} \\ \end{align}$

となる。 $\blacksquare$

また確率密度関数は，

$\begin{align} g(r) = \frac{d}{dr} G(r) = \frac{2nr^{2n-1}}{\theta^{2n}} I_{[ 0 \leq r \leq \theta ]} \\ \end{align}$

となる。 $\blacksquare$

[4]

解説

最尤推定量を求める問題である。
これまでは $F(r)$ および $f(r)$ を $r$ の関数として見ていたが，最尤推定量を求める問題ではあるので，見方を変えて $\theta$ の関数とみる。

最尤推定量を用いる問題だからと言って，尤度方程式(対数尤度関数をパラメータで微分したものを $0$ と置いた方程式)を解こうとしても， $\theta = 0$ となってしまう。
この問題では一様分布における最尤推定量の導出と同様に， $r, \theta$ の値の範囲が決まっているので，これを用いることとする。

解答例

$R_1, \cdots, R_n$ の尤度関数 $L(\theta)$ は，

$\begin{align} L(\theta) = \left( \frac{2r}{\theta^2} \right)^n I_{[ 0 \leq R_1, \cdots, R_n \leq \theta ]} = \frac{(2r)^n}{\theta^{2n}} I_{[ R_{(n)} \leq \theta \lt \infty ]} \end{align}$

これは $\theta$ に関する単調減少関数であるので， $\theta$ の範囲の最小値 $R_{(n)}$ において， $L(\theta)$ は最大値を取る。

よって最尤推定量は， $\hat{\theta}_{ML} = R_{(n)}$ となる。 $\blacksquare$

[5]

解説

$\hat{\theta} _U$ が $\theta$ 不偏推定量になるためには， $E [ \hat{\theta} _U ] = \theta$ となるように，係数を調整すればよい。

解答例

$\hat{\theta}_{ML}$ がしたがう確率密度関数は，[3]で求めた $g(r)$ である。

$g(r)$ について，期待値は，

$\begin{align} E [ r ] &= \frac{2n}{\theta^{2n}} \int_{0}^{\theta} r \cdot r^{2n-1} dr \\ \\ &= \frac{2n}{\theta^{2n}} \times \frac{\theta ^{2n+1}}{2n+1} = \frac{2n}{2n+1} \theta \\ \end{align}$

となる。

また，

$\begin{align} E [ r^2 ] &= \frac{2n}{\theta^{2n}} \int_{0}^{\theta} r^2 \cdot r^{2n-1} dr \\ \\ &= \frac{2n}{\theta^{2n}} \times \frac{\theta ^{2n+2}}{2n+2} = \frac{n}{n+1} \theta^2 \\ \end{align}$

より，分散は，

$\begin{align} V [ r ] = E [ r^2 ] - (E [ r ])^2 = \frac{n}{(n+1)(2n+1)^2} \theta^2 \end{align}$

となる。

これらを用いると， $\hat{\theta}_U$ が不偏推定量になるには， $E [ \hat{\theta} _U ] = \theta$ ，すなわち

$\begin{align} E [ \hat{\theta} _U ] &= a E [ \hat{\theta} _{ML} ] + b \\ \\ &= a \times \frac{2n}{2n+1} \theta + b = \theta \\ \\ & \therefore a = \frac{2n+1}{2n}, b=0 \\ \end{align}$

となる。またこのとき $\hat{\theta}_U$ の分散は，

$\begin{align} V [ \hat{\theta} _U ] &= a^2 V [ \hat{\theta} _{ML} ] \\ \\ &= \frac{(2n+1)^2}{(2n)^2} \times \frac{n}{(n+1)(2n+1)^2} \theta^2 \\ \\ &= \frac{\theta ^2}{ 4n(n+1)} \\ \end{align}$

となる。 $\blacksquare$