「自然科学の統計学」を読む　～第6章検定と標本の大きさ ①検出力関数～

はじめに

東京大学教養学部統計学教室編「自然科学の統計学」は，1992年発行のやや古典的な文献であるが，自然科学に関わる統計学的テーマが簡潔にまとめられている。数理統計学の復習も兼ねて，本書を読むこととした。
ただ，基本的なことは他書で学んできたのと，本書自体がかなり細かく説明されているので，本書内の内容や数式を細かく追うというより，実務や統計検定の受験において有用そうなことを選んでまとめてみたい。

本記事は，「第6章検定と標本の大きさ」における，検出力関数に関する読書メモである。

第6章検定と標本の大きさ

統計的検定は，数理統計学における重要なテーマであり，統計検定でも良く出題される分野である。本節では，検出力の考え方と，十分な検出力を得るための標本の大きさを決定する方法について説明している。

6.1 検定の検出力

本節では，統計的検定(あるいは，単に検定)における各種用語を説明しつつ，検出力の概念を説明し，「よい検定方式」について説明している。

検定方式

検定では，データに基づき，帰無仮説 $H_0$ を棄却するか受容するかを判断する。検定方式 $\delta$ とは，この棄却・受容の判断をする方法のことである。

本書では，工場における製造工程を例に説明している。製造工程が異常かどうかをということを，生産される不良品の数で判断しようとしたときに，

検定方式 $\delta_1$ : 不良品の数 $X$ が， $X \geq 3$ であるときに，製造工程が異常であると判断する。
検定方式 $\delta_2$ : 不良品の数 $X$ が， $X \geq 4$ であるときに，製造工程が異常であると判断する。

という2種類の方法を考える。

検出力関数

検定方式 $\delta$ を用いたとして， $\theta$ という値に対して帰無仮説を棄却する確率を，

$\begin{align} \beta_{\delta}(\theta) = P_{\theta}(\text{$\delta$を用いて帰無仮説を棄却} ) \\ \\ \end{align}$

と表す。この $\beta_{\delta}(\theta)$ を検出力(power)または検出力関数(power function)と呼ぶ。
統計検定量を $T$ ，棄却域を $R$ で表すと，帰無仮説 $H_0$ にしたがう場合と，対立仮説 $H_1$ にしたがう場合における検出力は，下図のようになる。

良い検定方式

帰無仮説と対立仮説をそれぞれ，

帰無仮説 $H_0 : \theta \in \Theta_0$
対立仮説 $H_1 : \theta \in \Theta_1$

のように表す。

検定において，誤り方は以下のように第1種の過誤と第2種の過誤が存在するが，検出力関数を用いると，第1種の過誤・第2種の過誤はそれぞれ以下のように表される。

	意味	検出力を用いた表現
第1種の過誤	帰無仮説が正しいときに，帰無仮説を棄却してしまう誤り	$\beta_{\delta}(\theta)$ $\theta \in \Theta_0$
第2種の過誤	対立仮説が正しいときに，帰無仮説を採択してしまう誤り	$1- \beta_{\delta}(\theta)$ $\theta \in \Theta_1$

良い検定方式は，2つの過誤の確率が小さいものである。すなわち

帰無仮説が正しいときは，検出力関数 $\beta_{\delta}(\theta)$ が小さい
対立仮説が正しいときは，検出力関数 $\beta_{\delta}(\theta)$ が大きい

という検定方式であることが分かる。

ただし，第1種の過誤と第2種の過誤は同時に小さくできない。一般には，仮説検定では第1種の過誤を重視し，第1種の過誤の確率を，有意水準 $\alpha$ 以下にする，すなわち

$\begin{align} \beta_{\delta}(\theta) \leq \alpha, \quad \theta \in \Theta_0 \\ \\ \end{align}$

という検定方式を考える。

検出力関数の例

本書P178に示されている2種類の検定方式に関する検出力関数を図示する。

検定問題の設定

ある工場では，不良率 $p_0$ が1%以下ならば製造工程は正常である，と判断しているものとする。ある日の不良率を $p$ (※これは真のパラメータであり，実際にはわからない)とし， $p_0=0.01$ とすると，製造工程が正常であるという仮説(帰無仮説)は

$\begin{align} H_0 : p \leq p_0 \\ \\ \end{align}$

と表される。また製造工程が異常であるとする仮説(対立仮説)は，

$\begin{align} H_1 : p \gt p_0 \\ \\ \end{align}$

と表される。

検定方式の設定

1日の終わりに $n=100$ 個の製品を抜取検査する。抜取検査の結果を用いて，「製造工程が正常である」という仮説を検定するが，このとき以下の2種類の検定方式を考える。

検定方式 $\delta_1$ : 不良品の数 $X \geq 3$ ならば，帰無仮説 $H_0$ を棄却する。
検定方式 $\delta_2$ : 不良品の数 $X \geq 4$ ならば，帰無仮説 $H_0$ を棄却する。

検出力関数

検定方式 $\delta_1$ の検出力関数は $p$ の関数として，

$\begin{align} \beta_1(p) = \beta_{\delta_1}(p) = P_p(X \geq 3) = 1 - P_p(X \leq 2) \\ \\ \end{align}$

のように，1から累積分布関数をひいた関数として定義できる。
同様に検定方式 $\delta_2$ の検出力関数は

$\begin{align} \beta_2(p) = \beta_{\delta_2}(p) = P_p(X \geq 4) = 1 - P_p(X \leq 3) \\ \\ \end{align}$

となる。

これら2つの検出力関数を図示すると，以下のようになる。

サンプルコード

from scipy.stats import binom
import numpy as np

p_values = np.arange(0, 0.051, 0.001)

beta_1_values = binom.sf(2, 100, p_values) #生存関数(=1 - 累積分布関数)
beta_2_values = binom.sf(3, 100, p_values) #生存関数(=1 - 累積分布関数)

import matplotlib.pyplot as plt

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(p_values, beta_1_values, label='$\\beta_1(p) = P(X \\geq 3)$', color='blue')
plt.plot(p_values, beta_2_values, label='$\\beta_2(p) = P(X \\geq 4)$', color='red')

plt.xlabel('p')
plt.ylabel('Power')
plt.ylim(0, 1)
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()