超幾何分布から二項分布への変換 #統計検定

はじめに

統計検定1級の統計数理・理工学において，二項分布は頻出分野である。この記事では，二項分布に関する話題のうち，超幾何分布との関係について説明する。

二項分布

統計検定1級での出題

統計検定1級の統計数理・理工学において，2012年～2022年の10年の間で，関連する問題が8題出題されている。

二項分布と他の確率分布との関係

統計検定では，確率分布の性質，特に他の確率分布との関係を問われることが多い。
ある確率分布と他の確率分布との関係は「確率分布まんだら」で表現されることが多いが，見やすさを意識して二項分布周りのみを取り出した。

※なお，確率分布まんだらの難点とメリットは，確率分布まんだらを作る意義 #統計検定 - jiku log に書いた。

超幾何分布との関係

二項分布は，超幾何分布の極限操作として得られる。
超幾何分布は，

$\displaystyle P(X=x|N, M, K) = \frac{\dbinom{M}{x} \dbinom{N-M}{K-x} }{ \dbinom{N}{K} }, \text{$x=0,1,...,K$}$

で表される。

超幾何分布において， $N \rightarrow \infty, M/N \rightarrow p$ という極限を取ると，二項分布 $Bin(K, p)$ に変換される。

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} P(X=x|N, M, K) = \dbinom{K}{x} p^x (1-p)^{K-x}$

この式を得てみよう。

超幾何分布から二項分布への変換

方針

まず，求めたい二項分布の式の形を確認し，ゴールから式変形の方向性を確認してみる。 $M/N \rightarrow p$ なので，以下のように変形する。

$\displaystyle \dbinom{K}{x} p^x (1-p)^{K-x} = \frac{K!}{x! (K-x)!} \left( \frac{M}{N} \right) ^x \left( \frac{N - M}{N} \right) ^{K-x }$

超幾何分布の式を変形して，最終的に上の式の各項を作っていくことを目指していく。

超幾何分布の式変形

ここからは，項の数を意識しながら式の整理をしていく。まず超幾何分布を階乗の形に変形する。

$\begin{align} P(X=x|N, M, K) &= \frac{\dbinom{M}{x} \dbinom{N-M}{K-x} }{ \dbinom{N}{K} } \\ &= \frac{M!}{x! (M-x)!} \times \frac{(N-M)!}{(K-x)! (N-M-K+x)!} \times \frac{K! (N-K)!}{N!} \\ \end{align}$

Step 1. 二項係数の部分を括りだす

ゴールの式の中に $\tbinom{K}{x}$ がいるので，まずはこの式の部分を括りだすこととする。

$\begin{align} P(X=x|N, M, K) &= \frac{K!}{x! (K-x)!} \times \frac{M!}{(M-x)! N!} \times \frac{(N-M)! (N-K)!}{(N-M-K+x)!} \\ \end{align}$

ここまでは，掛け算の順番を入れ替えただけである。

Step 2. pになる部分を括りだす

次に，極限 $N \rightarrow \infty$ を取ると $p^x = (M/N)^x$ になる部分を括りだす。注目するべき点は以下の2つである。

変数の掛け算の数(以下，「項数」と表現する)が $x$ 個になるようにする。
$p=M/N$ に近い値が出てくるように変形する。

これを意識して，項数が $x$ 個になる部分を探してみると，

$\begin{align} \frac{M!}{(M-x)!} = M(M-1) \cdots (M-x+1) \end{align}$

であり，ここ項数は $x$ 個である。

次に， $p=M/N$ に近い項を作ることを考えると，

$\begin{align} \frac{N!}{(N-x)!} = N(N-1) \cdots (N-x+1) \end{align}$

であり，ここ項数も $x$ 個である。これを踏まえて，超幾何分布の式を以下のように変形する。

$\begin{align} P(X=x|N, M, K) &= \frac{K!}{x! (K-x)!} \times \frac{M! (N-x)! }{(M-x)! N!} \times \frac{(N-M)! (N-K)!}{(N-x)! (N-M-K+x)!} \\ \end{align}$

この式の第2項を変形すると，

$\begin{align} \frac{M! (N-x)! }{(M-x)! N!} &= \frac{M(M-1) \cdots (M-x+1)}{N(N-1) \cdots (N-x+1)} \\ &= \prod_{i=1}^{x} \frac{M-i+1}{N-i+1} \\ &= \prod_{i=1}^{x} \frac{M/N-(i-1)/N}{1-(i-1)/N} \\ &= \prod_{i=1}^{x} \frac{p-(i-1)/N}{1-(i-1)/N} \\ &\rightarrow p^x \quad (\text{$N \rightarrow \infty $}) \end{align}$

となり， $p^x$ の項が得られた。

Step3. (1-p)になる部分を括りだす

最後に，極限 $N \rightarrow \infty$ を取ると $(1-p)^{K-x} = ((N-M)/N)^{K-x}$ になる部分を括りだす。Step2. と同様に，注目するべき点は以下の2つである。

項数が $K-x$ 個になるようにする。
$1-p=(N-M)/N$ に近い値が出てくるように変形する。

では，超幾何分布

$\begin{align} P(X=x|N, M, K) &= \frac{K!}{x! (K-x)!} \times \frac{M! (N-x)! }{(M-x)! N!} \times \frac{(N-M)! (N-K)!}{(N-x)! (N-M-K+x)!} \\ \end{align}$

のうち，すべての面倒を押し付けてきた第3項を変形していこう。

項数が $K-x$ 個になる部分を探してみると，

$\begin{align} (N-x) - (N-K) &= K-x \\ (N-M) - (N-M-K+x) &= K-x \\ \end{align}$

なので，

$\begin{align} \frac{(N-M)! (N-K)!}{(N-x)! (N-M-K+x)!} = \frac{(N-K)!}{(N-x)! } \cdot \frac{(N-M)!}{(N-M-K+x)!} \\ \end{align}$

としてから変形してみよう。

$\begin{align} \frac{(N-K)!}{(N-x)! } &= \frac{1}{(N-x)(N-x-1) \cdots (N-K+1)} \\ \frac{(N-M)!}{(N-M-K+x)!} &= (N-M)(N-M-1) \cdots (N-M-K+x+ 1 ) \\ \end{align}$

であり，いずれも項数が $K-x$ なので，第3項は以下のようになる。

$\begin{align} \frac{(N-M)! (N-K)!}{(N-x)! (N-M-K+x)!} &= \frac{(N-M)(N-M-1) \cdots (N-M-K+x+1)} {(N-x)(N-x-1) \cdots (N-K+1)} \\ &= \prod_{i=1}^{K- x} \frac{N-M-i+1}{N-x-i+1} \\ &= \prod_{i=1}^{K- x} \frac{(N-M)/N-(i-1)/N}{1-(x+i-1)/N} \\ &= \prod_{i=1}^{K- x} \frac{(1-p)-(i-1)/N}{1-(x+i-1)/N} \\ &\rightarrow (1-p)^{K-x} \quad (\text{$N \rightarrow \infty $}) \end{align}$

Step4. まとめる

以上をまとめると，最終的に求めたい式が得られる。

$\begin{align} P(X=x|N, M, K) &= \frac{K!}{x! (K-x)!} \times \frac{M! (N-x)! }{(M-x)! N!} \times \frac{(N-M)! (N-K)!}{(N-x)! (N-M-K+x)!} \\ &\rightarrow \dbinom{K}{x} p^x (1-p)^{K-x} \quad (N \rightarrow \infty) \\ \end{align}$