ポアソン分布への変換 #統計検定

はじめに

統計検定1級の統計数理・理工学において，ポアソン分布は頻出分野である。この記事では，ポアソン分布に関する話題のうち，他の分布をポアソン分布へ変換する，具体的には

二項分布→ポアソン分布
負の二項分布→ポアソン分布

という変換について説明する。

ポアソン分布から他の分布への変換 #統計検定 - jiku log

はじめに
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- 目次
ポアソン分布
- 統計検定1級での出題
ポアソン分布と他の確率分布との関係
二項分布→ポアソン分布の変換
- 方針
- 二項分布の式変形
負の二項分布→ポアソン分布の変換
- 方針
- 負の二項分布の式変形
まとめ

ポアソン分布

統計検定1級での出題

統計検定1級の統計数理・理工学において，2012年～2022年の10年の間で，関連する問題が9題出題されている。

ポアソン分布と他の確率分布との関係

統計検定では，確率分布の性質，特に他の確率分布との関係を問われることが多い。ポアソン分布と他の分布の関係は以下の通りである。

二項分布→ポアソン分布の変換

二項分布において， $n \rightarrow \infty, \lambda = np$ という極限を取ると，ポアソン分布 $Po(\lambda)$ に変換される。

$\displaystyle Bin(n, p) \rightarrow Po(\lambda) \quad (n \rightarrow \infty, \lambda = np)$

この式を得てみよう。

方針

求めたいポアソン分布の式の形を確認し，ゴールから式変形の方向性を確認してみる。

まず二項分布は以下の通りである。

$\displaystyle Bin(x|n, p) = \dbinom{n}{x} p^x (1-p) ^{n -x }$

次にポアソン分布は以下の通りである。

$\displaystyle Po(x|\lambda) = \frac{\lambda ^x}{x!} e^{- \lambda}$

二項分布の式を変形して，最終的にポアソン分布の各項を作っていくことを目指していく。

二項分布の式変形

まず二項分布を階乗の形に変形する。

$\begin{align} Bin(x|n, p) &= \dbinom{n}{x} p^x (1-p) ^{n -x } \\ &= \frac{n!}{x! (n-x)!} p^x (1-p) ^{n -x } \end{align}$

最終ゴールであるポアソン分布の形を眺めてみると， $x!$ の部分はそのまま使えそうである。また， $p^x$ の部分が $\lambda ^x$ に変形できそうなので，

$\displaystyle p^x= \frac{(np)^x}{n^x} = \frac{\lambda ^x }{n^x}$

という形を作ってみる。

更に，

$\displaystyle \frac{n!}{(n-x)!} = n(n-1) \cdots (n-x+1)$

という， $x$ 個の項の掛け算が得られるので，先ほど出てきた $n^x$ の項とセットにすると見通しが良くなる。

ここまででいったん式変形してみる。

$\begin{align} Bin(x|n, p) &= \frac{n!}{x! (n-x)!} p^x (1-p) ^{n -x } \\ &= \frac{1}{x!} \times \frac{n(n-1) \cdots (n-x+1)}{n^x} \times (np)^x \times (1-p)^{n-x} \\ &= \frac{1}{x!} \times \left(1 - \frac{1}{n} \right) \cdots \left( 1 - \frac{x-1}{n} \right) \times \lambda ^x \times (1-p)^{n-x} \\ \end{align}$

このうち2番目の項は $n \rightarrow \infty$ の極限で1に収束する。

残るは $e^{- \lambda}$ の項だが，この部分は

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left( 1+\frac{a}{n} \right) ^n = e^a$

という式を使うことを考える。

$\begin{align} (1-p)^{n-x} &= \left(1 - \frac{\lambda}{n} \right)^n \times \left(1 - \frac{\lambda}{n} \right)^{-x} \end{align}$

と変形できるが，前半部分は $e^{- \lambda}$ に収束するし，後半の部分は $\lambda / n \rightarrow 0$ より1に収束する。

これを用いると，

$\begin{align} Bin(x|n, p) &= \frac{1}{x!} \times \ \left(1 - \frac{1}{n} \right) \cdots \left( 1 - \frac{x-1}{n} \right) \times \lambda^x \times \left(1 - \frac{\lambda}{n} \right)^n \times \left(1 - \frac{\lambda}{n} \right)^{-x} \\ & \rightarrow \frac{1}{x!} \times \lambda^x \times e^{- \lambda} \\ &= Po(\lambda) \quad (n \rightarrow \infty) \end{align}$

となり，二項分布の極限としてポアソン分布を得ることができた。

負の二項分布→ポアソン分布の変換

負の二項分布においても， $n \rightarrow \infty, \lambda = n(1-p) = nq$ という極限を取ると，ポアソン分布 $Po(\lambda)$ に変換される。

$\displaystyle NB(n, p) \rightarrow Po(\lambda) \quad (n \rightarrow \infty, \lambda = n(1-p) = nq)$

この式を得てみよう。

方針

負の二項分布は以下の通りである。

$\displaystyle NB(x|n, p) = \dbinom{n+x-1}{x} p^n (1-p) ^x$

負の二項分布の式を変形して，最終的にポアソン分布の各項を作っていくことを目指していく。

負の二項分布の式変形

まず負の二項分布を階乗の形に変形する。この際，二項分布のときと同様な式変形をしたいので， $q = 1-p$ として式を書き直す。

$\begin{align} NB(x|n, p) &= \dbinom{n+x-1}{x} p^n (1-p) ^x \\ &= \frac{(n+x-1)!}{x! (n-1)!} (1-q)^n q^x \end{align}$

二項分布の式変形と同様に， $x!$ の部分はそのまま使う。また，

$\displaystyle q^x= \frac{(nq)^x}{n^x} = \frac{\lambda ^x }{n^x}$

という形を作ってみる。

更に，

$\displaystyle \frac{(n+x-1)!}{(n-1)!} = n(n+1) \cdots (n+x-1)$

という， $x$ 個の項の掛け算が得られるので，先ほど出てきた $n^x$ の項とセットにすると見通しが良くなる。

ここまででいったん式変形してみる。

$\begin{align} NB(x|n, q) &= \frac{1}{x!} \times \frac{n(n+1) \cdots (n+x-1)}{n^x} \times (nq)^x \times (1-q)^n \\ &= \frac{1}{x!} \times \left(1 + \frac{1}{n} \right) \cdots \left( 1 + \frac{x-1}{n} \right) \times \lambda ^x \times (1-q)^n \\ \end{align}$

このうち2番目の項は $n \rightarrow \infty$ の極限で1に収束する。

$e^{- \lambda}$ の項は

$\begin{align} (1-q)^n &= \left(1 - \frac{\lambda}{n} \right)^n &\rightarrow e^{- \lambda} \end{align}$

と変形できる。

これを用いると，

$\begin{align} NB(x|n, q) &= \frac{1}{x!} \times \ \left(1 + \frac{1}{n} \right) \cdots \left( 1 + \frac{x-1}{n} \right) \times \lambda^x \times \left(1 - \frac{\lambda}{n} \right)^n \\ & \rightarrow \frac{1}{x!} \times \lambda^x \times e^{- \lambda} \\ &= Po(\lambda) \quad (n \rightarrow \infty) \end{align}$

となり，二項分布のときと同様に，負の二項分布の極限としてポアソン分布を得ることができた。