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JTCのデータサイエンス中間管理職の学び

生存時間解析の積分テクニック #統計検定

統計検定

 

「生存関数を積分する」という問題

統計検定1級　統計応用(理工学)の過去問(2019年)を解いていて，「生存関数を積分する」という問題が出てきた。具体的な問題は公式問題集を参照していただきたいが，積分範囲を変換するテクニックで解けるので紹介したい。

books.jitsumu.co.jp

 

問題設定

この問題は生存時間解析に関する問題で，[1]の問題設定は以下のようなものである。

連続型の確率変数 x (x \geq 0)の確率密度関数を f(x)，累積分布関数を F(x)，生存関数を S(x) = 1 - F(x)としたときに，以下を示せ。

\displaystyle E[X] = \int_0^\infty \{1 - F(x)\} dx

 

私は所見のとき，「積分で定義される累積分布関数が，更に積分されている…」と，かなりびっくりした。公式問題集では部分積分を使って解いているのだが，

\displaystyle \lim_{x\to \infty} x(1-F(x)) = 0

という式が証明無しで書かれていたので，「うーん…」となってしまった。

 

累次積分を使った解き方

部分積分を使わない解き方を紹介する。

定義にしたがって積分の形へ

まずは，数理統計学の教科書によく出てくる，累積分布関数と確率密度関数の式

\displaystyle 1 - F(x) = \int_x^\infty f(y) dy

を用いると次のように，重積分の形で表現できる。

\displaystyle \int_0^\infty \{1 - F(x)\} dx = \int_0^\infty dx \int_x^\infty dy f(y)

 

積分範囲を変換する

この重積分の積分範囲は，

\displaystyle \{ 0 \leq x \lt \infty , x \leq y \lt \infty \}

であるが，これは，

\displaystyle \{ 0 \leq x \leq y , 0 \leq y \lt \infty \}

と書き換えることができる。図で示してみよう。

1つ目の積分範囲は縦方向に走査するような積分範囲であるが，同じ積分範囲を横方向に走査するように書き換えると，2つ目の積分範囲で表現できる。これは，累次積分と呼ばれるテクニックである。
このよう積分範囲を変換すると，上記の重積分を次のように変形できる。

\displaystyle \int_0^\infty dx \int_x^\infty dy f(y) = \int_0^\infty dy \int_0^y dx f(y)

さらに，

\displaystyle \int_0^y dx = y

なので，最終的に以下の式が得られる。

\displaystyle \int_0^\infty dy \int_0^y dx f(y) = \int_0^\infty  y f(y) dy \\= \displaystyle \int_0^\infty x f(x) dx \\= \displaystyle E[X]

となり求めたい式が得られた。

 

まとめ

生存時間解析は，統計応用でよく出てくる分野なので，問題を解く際には累次積分を思い出していただければと思う。