ガンマ分布における変数変換 #統計検定

はじめに

統計検定1級の統計数理・理工学において，ガンマ分布は頻出分野である。この記事ではガンマ分布と他の分布の変換について説明する。

ガンマ分布

統計検定1級での出題

統計検定1級の統計数理・理工学において，2012年～2022年の10年の間で，関連する問題が7題(6年)出題されている。

ガンマ分布と他の確率分布との関係

ガンマ分布と他の分布の関係は以下の通りである。

ガンマ分布→正規分布の変換

確率変数 $X$ が，ガンマ分布 $Ga(\alpha, \beta)$ にしたがうとする。

$\begin{align} \mu &= \alpha \beta \\ \sigma ^2 &= \alpha \beta ^2 \\ Z &= \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - \alpha \beta}{ \sqrt{\alpha \beta ^2} } \\ \alpha & \rightarrow \infty \end{align}$

という変換を行なうと，確率変数 $Z$ は標準正規分布にしたがう。

方針

確率変数 $X$ が，ガンマ分布 $Ga(\alpha, \beta)$ にしたがうので， $E[X] = \alpha \beta, V[X] = \alpha \beta^2$ である。
つまり上式は $\alpha \rightarrow \infty$ の極限で，ガンマ分布は正規分布に変換される，ということを示している。
極限が出てくるので，極限計算に出てくる項の数を出来るだけ減らすために，導出にはモーメント母関数を用いる。

導出

ガンマ分布 $Ga(\alpha, \beta)$ にしたがう確率変数 $X$ のモーメント母関数 $M_X(t)$ は，

$\displaystyle M_X(t) = E [ e^{tX} ] = \left( 1 - \beta t \right) ^{- \alpha}$

である。よって，確率変数 $Z$ のモーメント母関数 $M_Z(t)$ は，

$\begin{align} M_Z(t) = E [ e^{tZ} ] &= E \left [ \exp{ \left( t \frac{X - \alpha \beta}{ \sqrt{\alpha \beta ^2} } \right) } \right ] \\ &= \exp { \left( - t \sqrt{\alpha} \right) } \times E \left [ \exp{ \left( \frac{t }{ \sqrt{\alpha} \beta } X \right) } \right ] \\ \end{align}$

となる。ここで， $M_X(t) = E [ e^{tX} ] = \left( 1 - \beta t \right) ^{- \alpha}$ を用いると，

$\begin{align} M_Z(t) &= e^ { - t \sqrt{\alpha} } \times E \left [ \exp{ \left( \frac{t }{ \sqrt{\alpha} \beta } X \right) } \right ] \\ &= e^ { - t \sqrt{\alpha} } \times \left( 1 - \beta \frac{t}{ \sqrt{\alpha} \beta } \right) ^{- \alpha} \\ &= e^ { - t \sqrt{\alpha} } \times \left( 1 - \frac{t}{ \sqrt{\alpha} } \right) ^{- \alpha} \\ &= \left(e^ { \frac{t } {\sqrt{\alpha} } } \times \left( 1 - \frac{t}{ \sqrt{\alpha} } \right) \right)^{- \alpha} \\ &= \left(e^ { \frac{t } {\sqrt{\alpha} } } - \frac{t}{ \sqrt{\alpha} } e^ { \frac{t } {\sqrt{\alpha} } } \right)^{- \alpha} \\ \end{align}$

となる。 $\alpha$ が大きいとき，

$\displaystyle e^ { \frac{t } {\sqrt{\alpha} } } = 1 + \frac{t}{\sqrt{\alpha}} + \frac{t^2}{2 \alpha} + o(\alpha ^{-1})$

と近似できるので，

$\begin{align} e^ { \frac{t } {\sqrt{\alpha} } } - \frac{t}{ \sqrt{\alpha} } e^ { \frac{t } {\sqrt{\alpha} } } &= 1 + \frac{t}{\sqrt{\alpha}} + \frac{t^2}{2 \alpha} - \frac{t}{ \sqrt{\alpha} } \left( 1 + \frac{t}{\sqrt{\alpha}} + \frac{t^2}{2 \alpha} \right) + o(\alpha ^{-1})\\ &= 1 + \frac{t}{\sqrt{\alpha}} + \frac{t^2}{2 \alpha} - \frac{t}{ \sqrt{\alpha} } - \frac{t^2}{\alpha} + o(\alpha ^{-1}) \\ &= 1 - \frac{t^2}{2 \alpha} + o(\alpha ^{-1})\\ \end{align}$

となる。よって，

$\begin{align} M_Z(t) &= \left(e^ { \frac{t } {\sqrt{\alpha} } } - \frac{t}{ \sqrt{\alpha} } e^ { \frac{t } {\sqrt{\alpha} } } \right)^{- \alpha} \\ &= \left( 1 - \frac{1}{\alpha }\frac{t^2}{2 } + o(\alpha ^{-1}) \right)^{- \alpha} \\ &\rightarrow \exp{ \left( {\frac{t^2}{2}} \right) } \quad (\alpha \rightarrow \infty) \end{align}$

となり，これは標準正規分布のモーメント母関数なので，確率変数 $Ｚ$ は標準正規分布にしたがう。