確率変数の変数変換の注意点③(場合分け) #統計検定

はじめに

先日，確率変数の変数変換の問題のうち，2変数バージョンの問題を解いていた際に私がつまずいたポイントとその対策を紹介した。
この記事では，2変数バージョンの問題のうち，場合分けが必要になるパターンについて紹介する。
stern-bow.hatenablog.com

改訂履歴

変数の定義域の図示における「2) $1 \leq z \leq 2$ のとき」の積分範囲が誤記だったので修正した*1(2024/9/9)。

確率変数の変換変換・場合分けが必要なパターン

変換前の確率変数の定義域が閉区間の場合，確率変数の変数変換の際に場合分けが必要になることがある。例題として，一様分布にしたがう確率変数の合成を取り上げてみよう。

一様分布にしたがう確率変数の合成

今回つまずいた問題は，久保川達也著「現代数理統計学の基礎」の章末問題　第4章　問6である。なおこの問題は，サポートページからも確認できる。
sites.google.com

この問題は，以下のような内容である。

確率変数 $X, Y$ が，それぞれ一様分布 $U(0, 1)$ にしたがうとする。すなわち，確率変数 $X, Y$ の確率密度関数はそれぞれ，

\begin{equation}
f_X(x)=
\begin{cases}
1 & (0 \leq x \leq 1) \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
\end{equation}

\begin{equation}
f_Y(y)=
\begin{cases}
1 & (0 \leq y \leq 1) \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
\end{equation}
である。このとき確率変数 $Z = X + Y$ の確率密度関数 $f_Z(z)$ を求めよ。

一見すると，とても簡単な問題に見える。基本的な方針は，以下の通りである。

新たな確率変数 $T = Y$ を導入し，確率変数 $Z, T$ の同時確率密度関数を $f_{Z,T}(z, t)$ とする。
求める確率密度関数 $f_Z(z)$ は $f_{Z,T}(z, t)$ において変数 $t$ を積分消去して求める。

では解き進めてみよう。

$\begin{equation} \left\{ \begin{alignedat}{2} Z & = X + Y \\ T & = Y \end{alignedat} \right. \end{equation}$

となる。これを $X, Y$ について解くと，

$\begin{equation} \left\{ \begin{alignedat}{2} X & = Z - T \\ Y & = T \end{alignedat} \right. \end{equation}$

となる。

変数変換のヤコビアン $J$ は，

$J = \begin{vmatrix} \partial Z / \partial X & \partial Z / \partial Y \\ \partial T / \partial X & \partial T / \partial Y \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \\ \end{vmatrix} = 1$

となる。

変数の定義域変換

積分消去をする際には，確率変数の変数変換の注意点②(2変数バージョン) #統計検定 - jiku log にも記載した通り，変数の定義域変換が必要だった。

変数 $Z, W$ の定義域を確認してみよう。

$\begin{equation} \left\{ \begin{alignedat}{2} 0 \leq x \leq 1 \\ 0 \leq y \leq 1 \end{alignedat} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{alignedat}{2} &0 \leq z - t \leq 1 \\ &0 \leq t \leq 1 \end{alignedat} \right. \end{equation} \\$

さらに， $0 \leq z - t \leq 1$ の部分を変形すると，

$\begin{equation} \left\{ \begin{alignedat}{2} t \leq z \quad (0 \leq t \leq 1) \\ z-1 \leq t \quad (0 \leq t \leq 1) \end{alignedat} \right. \end{equation} \\$

変数の定義域の図示

式変形をして，ごちゃごちゃしてきたが，ポイントはこの定義域を図示することである(2変数であるので描けるはず)。この定義域は以下のようになる。

ヤコビアンの計算のために導入した変数 $T$ を積分消去したいので， $T$ の定義域が求められるように整理していく。

この定義域を形成する関数は， $z=t \Leftrightarrow t=z$ と， $z=t+1 \Leftrightarrow t = z-1$ の2種類存在するために，場合分けが必要になるのである。

$0 \leq z \leq 1$ のとき， $0 \leq t \leq z$
$1 \leq z \leq 2$ のとき， $z-1 \leq t \leq 1$

積分消去したい変数 $T$ の定義域が求められたので，いよいよ確率密度関数 $f_Z(z)$ を求めてみよう。

1) $0 \leq z \leq 1$ のとき

$\begin{align} f_Z(z) &= \int_{0}^{z} f_{Z,T}(z, t) dt \\ &= \int_{0}^{z} f_X(z - t) f_Y(t) \times |J| dt \\ &= \int_{0}^{z} 1 \cdot 1 \times |J| dt \\ &= z \quad (0 \leq z \leq 1) \\ \end{align}$

2) $1 \leq z \leq 2$ のとき

$\begin{align} f_Z(z) &= \int_{z-1}^{1} f_{Z,T}(z, t) dt \\ &= \int_{z-1}^{1} f_X(z - t) f_Y(t) \times |J| dt \\ &= \int_{z-1}^{1} 1 \cdot 1 \times |J| dt \\ &= 2-z \quad (1 \leq z \leq 2) \\ \end{align}$

以上より求める確率密度関数 $f_Z(z)$ は，

\begin{equation}
f_Z(z)=
\begin{cases}
z & (0 \leq z \leq 1) \\
2-z & (1 \leq z \leq 2) \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
\end{equation}

となる。

まとめと教訓

確率変数の変数変換において，変換前の変数の定義域が閉区間の場合(たとえば一様分布)，変数変換の際に場合分けが発生することがある。変数変換の際には，図示して確認することを心がけていただきたい。

練習問題

場合分けが必要なパターンに慣れるためには，久保川達也著「現代数理統計学の基礎」の章末問題に，追加問題も含めて取り組むことをおすすめする。
特に第4章　問29(追加)　は，変数変換問題の集大成とも言える問題である。詳細は上記のリンクを参照していただきたいが，変数の定義域変換は次のようになっている。

確率変数 $X, Y$ から $W, T$ に変数変換する式は，

$\begin{equation} \left\{ \begin{alignedat}{2} W & = \frac{X}{X+Y} \\ T & = X \end{alignedat} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{alignedat}{2} X & = T \\ Y & = \frac{1-W}{W} T \end{alignedat} \right. \end{equation}$

である。

変数の定義域は，

$\begin{equation} \left\{ \begin{alignedat}{2} 0 \lt x \lt 1 \\ 0 \lt y \lt 1 \end{alignedat} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{alignedat}{2} &0 \lt t \lt 1 \\ &0 \lt \frac{1-w}{w} t \lt 1 \end{alignedat} \right. \end{equation} \\$

となる。

この定義域を $t-w$ 平面に描画すると，以下のようになる。